librelist archives

« back to archive

задача на метод "неделимых".

задача на метод "неделимых".

From:
Сандра Байкальская
Date:
2015-02-10 @ 09:19
здравствуйте, друзья!
имеется задача:
Опишите метод «неделимых» на плоскости с точки зрения замены переменных 
в двойном интеграле.
суть метода "неделимых", как я поняла из прочитанного, заключается в 
том, чтоб фигуру плоскую или объемную разбить на отрезки или плоские 
фигуры,а потом собрать из них другую фигуру, площадь которой известна, и 
с помощью таких фигур вычисляется площадь изначальной фигуры.
но в задаче сказано описать этот метод с точки зрения замены переменной 
в двойном интеграле.
люди добрые, наведите на мысль как это нужно делать.
заранее спасибо.
-- 
С уважением,
Сандра!
sanka21m11@yandex.ru

Re: [blindmath.rus] задача на метод "неделимых".

From:
Nikita
Date:
2015-02-10 @ 11:32
Здравствуйте, Сандра Байкальская.

> люди добрые, наведите на мысль как это нужно делать.

Ну с геометрической точки зрения метод неделимых - это, действительно, 
фактически вписывание в исходную фигуру более простых фигур с известной 
площадью.
Если фигура простая, то всё в порядке, но если сложная, то возникает 
проблема, когда мы не можем абсолютно заполнить исходную площадь.
Например, как рассчитать площадь круга, если представить, что про число Пи 
мы ничего не знаем?
Фактически мы представляем его в виде равнобедренных треугольников, 
сходящихся вершинами в одну точку, а всё то, что треугольниками покрыть не 
получилось списываем как погрешность.
Чем больше основания наших треугольников, тем больше потери точности из-за 
выпадения долей круга, очерченных основаниями треугольника и частями 
окружности между вершинами его основания.
Повышать точность измерения мы можем увеличением числа треугольников, то 
есть превращая вписываемые треугольники в что-то совсем узкое с очень 
маленьким основанием. Это будет уменьшать выпадающие доли круга и снижать 
погрешность.
Древние математики фактически этим и занимались, и именно так и рассчитывали 
знаки числа Пи.
Очевидно, что самая большая точность измерения, а значит действительная, а 
не примерная площадь круга, будет получена тогда, когда мы добьёмся 
бесконечно малой длины основания круга.
Именно здесь и появляется инструментарий пределов. Фактически интеграл 
позволяет нам рассчитать как бы бесконечное количество бесконечно малых 
фигур, вписываемых в исходную фигуру.
Мы берём участок плоскости, ограниченный координатными осями и кривой линией 
фигуры, заданной какой-то функцией. Такая штука называется криволинейной 
трапецией. Она остаётся как огрызок после того, как мы замостили всю 
остальную площадь фигуры нормальными прямоугольниками.
После этого мы начинаем рассчитывать сумму площадей бесконечно малых 
прямоугольников, которые мы вписываем в эту криволинейную трапецию. Типа как 
женщины соревнуются в самой тонкой нарезке колбасы.
Фактически берётся интеграл функции, задающей кривую линию фигуры, по 
основанию точек начала и конца её основания на оси X.
Но вообще откуда вы взяли эту задачу?
С прикладной точки зрения это есть даже вроде в старшей школе. По крайней 
мере, в те годы, когда я там учился, ещё было. Или весь фокус именно в 
корректном аналитическом описании?
Успехов. Никита. 

Re: [blindmath.rus] задача на метод "неделимых".

From:
Евгений Корнев
Date:
2015-02-10 @ 14:55
Приветствую.
> имеется задача:
> Опишите метод «неделимых» на плоскости с точки зрения замены
> переменных
> в двойном интеграле.
> суть метода "неделимых", как я поняла из прочитанного, заключается в
> том, чтоб фигуру плоскую или объемную разбить на отрезки или
> плоские
> фигуры,а потом собрать из них другую фигуру, площадь которой
> известна, и
> с помощью таких фигур вычисляется площадь изначальной фигуры.
> но в задаче сказано описать этот метод с точки зрения замены
> переменной
> в двойном интеграле.
> люди добрые, наведите на мысль как это нужно делать.
[ЕК] слишком общая постановка задачи. Двойной интеграл от какой функции? 
Как известно, интеграл по компактному двумерному множеству от единицы и 
даёт площадь этого множества. Метод замены переменных используется для 
упращения вычисления интегралов. Для нахождения площади методами 
"хирургии", когда фигура перекраивается и снова склеивается, не нужны. В 
общем случае, если M - двумерная компактная область, то её площадь всегда 
равна \iint_M dxdy. А вот уже эти самые x и y описывают фигуру. Например, 
замкнутый круг на плоскости описывается уравнением x^2+y^2=1. Но из этого 
уравнения однозначно y через xне выразить. А значит и интеграл в этих 
переменных не вычислить. Нужно переходить к элементарным полярным 
координатам. Для сферы нужно переходить к сферическим и тому подобное. В 
этом и заключается метод замены переменных в двойном интеграле при 
вычислении площади.