librelist archives

« back to archive

функция, функционал и оператор.

функция, функционал и оператор.

From:
Сандра Байкальская
Date:
2015-01-16 @ 08:32
здравствуйте, дорогие математики!
интересно мне было давно и вот наконец-то я решила это выяснить, чем же 
отличаются понятия "функция", "функционал", "оператор".
прочитала статьи из любимой википедии:
функция:

https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%29&stable=1
функционал:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB
оператор:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%28%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%29
изложу то, что мне удалось понять из прочитанного.
если кто-то понимает это правильнее, то поделитесь знаниями пожалуйста!
начну с самого знакомого понятия - функция.
функция - это правило (закон), по которому элементу из области 
определения функции ставится в соответствие элемент из области значений 
данной функции. и вроде бы здесь всё ясно, но дальше появляется функционал.
функционалом согласно написанному в википедии называется отображение из 
произвольного множества в множество вещественных или комплексных чисел. 
или в более общем смысле - отображение из произвольного множества в 
кольцо, которое необязательно числовое.
а вот с оператором всё еще более загадочно.
википедия гласит, что операторами называют отображения особые для данной 
области математики.
а также википедия пишет что оператор и функция это в общем-то одно и 
тоже, и, как я понимаю, слово "оператор" ввели грубо говоря для красоты, 
чтоб им особые отображения называть, и фразы, где это отображение 
упоминается, звучали более красиво.
если я что-то понимаю неверно, огромная просьба к более опытным 
математикам меня поправить.
всем заранее спасибо!

-- 
С уважением,
Сандра!
sanka21m11@yandex.ru

Re: [blindmath.rus] функция, функционал и оператор.

From:
Евгений Корнев
Date:
2015-01-17 @ 04:13
Приветствую.
> интересно мне было давно и вот наконец-то я решила это выяснить, чем
> же
> отличаются понятия "функция", "функционал", "оператор".
[ЕК] для начала нужно определиться с понятием "отображение". Отображением 
множества X в множество Y называется закон, по которому каждому элементу 
множества X сопоставляется элемент множества Y. Причём, отображения можно 
задавать даже на дискретных множествах. Например, пусть X - множество 
женщин, а Y - множество мужчин. Зададим отображение A, которое каждой 
женщине ставит в соответствие её мужа. Если у женщины x нет мужа, тогда 
A(x) есть пустое множество. Получаем, что множество всех незамужних людей 
женского пола есть ядро отображения A. Образом отображения A является 
множество всех женатых мужчин, а множество всех неженатых мужчин не имеет 
прообраза относительно отображения A. С понятием отображения разобрались. 
Теперь легко определяется понятие функций и функционалов.
Функцией называется отображение пространства R^n или C^n в множество 
вещественных или комплексных чисел.
Функционалом называется отображение произвольного недискретного множества 
в множество вещественных или комплексных чисел.
Оператором называется отображение одного линейного пространства в другое 
линейное пространство. В частности, любая линеная функция из R^n в R есть 
линейный оператор. А вот уже линейное отображение из R^n в R^n является 
линейным оператором, но функцией не является. Операторы также бывают 
дифференциальные, интегральные и так далее. все они это - отображения из 
пространства функций или линейных форм в пространство функций или линейных
форм. Как известно, любое пространство функций или линейных форм является 
линейным, ибо функции и линейные формы любой степени можно складывать и 
умножать на скаляры. Очевидным примером дифференциального оператора на 
пространстве внешних форм степени p является внешний дифференциал. Как 
известно, он каждой внешней форме степени p сопоставляет внешнюю форму 
степени p+1. В математической физике существует целая куча 
дифференциальных операторов, используемых в различных законах и 
уравнениях. Например, знаменитый оператор Лапласа, оператор Бельтрами и 
так далее. внешний дифференциал является оператором, но функцией или 
функционалом его назвать рука уже не поднимится (см. определения выше). А 
вот приведённое мной в качестве примера отображение из множества женщин в 
множество мужчин даже оператором не является. Поскольку множество женщин 
не является линейным пространством. Ибо что есть сумма двух женщин? А что 
есть женщина умноженная на скаляр? И кто должен быть в пространстве женщин
аналогом нуля? То есть женщиной, сумма которой с любой другой женщиной 
даёт снова её саму. А вот функционал на множестве женщин мы вполне завести
можем. Например, положим что f(x)=y, где y - рост женщины x. Рост 
выражается в положительных вещественных числах, значит определение 
функционала выполнено. Причём, такой функционал всегда имеет ограниченный 
набор значений. Ибо есть на земле самая низкая женщина, и есть самая 
высокая. Функцией данный функционал также не является, поскольку множество
женщин не является пространством R^n. Так что, теперь желающие могут 
развлекаться, задавая различные функционалы и отображения на самых разных 
множествах. От множества людей, до множества алгебраических категорий. 
Кстати, есть ещё и отображения называемые "функторы". Это как раз 
отображения одной алгебраической категории в другую. Например, если взять 
в качестве алгебраической категории категорию всех векторных пространств, 
то функтором этой категории в себя будет отображение, которое векторному 
пространству V сопоставляет некое векторное пространство W, и при этом 
коммутирует с любым линейным оператором пространства V в пространство W. 
Поскольку множество людей с соотношением брачного союза также является 
алгебраической категорией, то можно завести автофунктор множества людей в 
себя. Например, отображение "супруг", которое ставит каждому человеку в 
соответствие его супруга. Сохраняет отношение брачного союза, а 
следовательно является функтором на множестве людей. Поскольку если 
человек состоит в браке, то у него обязан быть супруг в лице мужа или 
жены. Следовательно, наш функтор "супруг" переводит множество людей, 
состоящих в браке, в себя, а множество людей, не состоящих в браке, в само
же это множество.
--
Евгений Корнев.