librelist archives

« back to archive

ММИ. задачи на делимость.

ММИ. задачи на делимость.

From:
Сандра Байкальская
Date:
2014-11-06 @ 22:19
здравствуйте, дорогие математики! :)
решаю задачи (точней пытаюсь решить) где требуется методом 
математической индукции доказать что выражение при всех натуральных n 
делится на данное число и понимаю что чего-то я не знаю или не понимаю. :(
далее расскажу об этом подробнее.
задача1.
Доказать что при любом натуральном n сумма n^{3} и 5n делится на 6.

начинаю доказывать. база индукции n=1 тогда 1^{3}+5=6 и конечно оно на 6 
делится. идём дальше.
предполагаем, что на 6 делится выражение k^{3}+5k при n=k и пытаемся 
доказать что это свойство выполняется и при n=k+1. при n=(k+1) получим
(k+1)^{3}+5(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1+5k+5=k^{3}+3k^{2}+8k+6.
и тут никак не видно что это выражение делится на 6.
даже если воспользоваться предположением и выделить из всего выражение 
k^{3}+5 то есть записать получившееся выражение как 
(k^{3}+5k)+(3k^{2}+3k+6), то 3k^{2}+3k+6 явно делится на 3, но явной 
делимости при этом еще и на 2 тут не наблюдается к сожалению.
может быть я как-то ни в том направлении мыслю. направьте пожалуйста на 
путь истинный.
задача2.
Доказать, что (11^{n+2}+12^{2n+1}) делится на 133 без остатка.
как всегда приступим к проверке базы. при n=1 получим 11^{3}+12{3}=3059 
и это число конечно делится на 133.
предположим, что (11^{k+2)+12^{2k+1}) делится на 133 при n=k и попробуем 
доказать что это выполняется и при n=(k+1).
11^{(k+1)+2}+12^{2k+2+1}=(11*11^{k+2}+144*12^{2k+1} вот что думаю я. 
правда, не знаю такого правила чтоб при умножении слагаемых на разные 
числа в новой сумме сохранялась делимость в данном случае на 133.
аналогичная проблема в следующей задаче.
задача3
Доказать, что 3^{3n-1}+2^{4n-3} при произвольном натуральном n делится 
на 11.
задача4
Доказать что при любом n 7^{n}-1 делится на 6 без остатка.
база n=1 7^{1}-1=6 и конечно на 6 оно делится.
предположим что на 6 делится 7^{k}-1 и докажем (точней попытаемся) что 
на 6 делится 7^{k+1}-1.
7^{k+1}=7*7^{k} и 7^{k+1}-1=7*7^{k}-1.
и тут я тоже не могу найти такого правила (аксиомы, теоремы, лемы) чтоб 
доказать себе и людям что это выражение при n=(k+1) на 6 всё-таки делится.
и такая же ситуация в следующей задаче:
задача5
Доказать, что 3^{3n+3}-26n-27 при произвольном натуральном n делится на 
26^2=676 без остатка.
Предварительно докажем что 3^{3n+3}-1 делится на 26 без остатка.

я попыталась решить так сказать подзадачу этой задачи. то есть доказать 
3^{3n+3}-1 делится на 26 и опять столкнулась с той же трудностью что и в 
предыдущих задачах.
пожалуйста, направьте неразумную на путь истинный! :)
заранее спасибо!

-- 
С уважением,
Сандра!
sanka21m11@yandex.ru

Re: [blindmath.rus] ММИ. задачи

From:
Евгений Корнев
Date:
2014-11-07 @ 05:57
Ну, раз дорогие математики молчат, придёться мне отдуваться.
> решаю задачи (точней пытаюсь решить) где требуется методом
> математической индукции доказать что выражение при всех
> натуральных n
> делится на данное число и понимаю что чего-то я не знаю или не
> понимаю. :(
> далее расскажу об этом подробнее.
> задача1.
> Доказать что при любом натуральном n сумма n^{3} и 5n делится на 6.

[ЕК] при n=k+1 имеем:
(к+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+8k+6=(k^3+5k)+3(k^2+k+2).
По предположению индукции слагаемое k^3+5k делится на 6. Остаётся 
доказать, что и слагаемое 3(k^2+k+2) также делится на 6, тогда и сумма 
этих двух слагаемых будет делиться на 6. Очевидно, что для второго 
слагаемого достаточно доказать, что k^2+k+2 делится на 2, тогда 3(k^2+k+2)
будет делиться на 6. Имеем:
K^2+k+2=k(k+1)+2. Произведение k(k+1) при любых k является чётным числом 
как произведение чётного на нечётное. Таким образом k(k+1) всегда делится 
на 2 и всё выражение k^2+k+2 также делится на 2. Что и влечёт делимость 
исходного выражения на 6. 
--
Евгений Корнев.