librelist archives

« back to archive

метод математической индукции. требуется решить

метод математической индукции. требуется решить

From:
Сандра Байкальская
Date:
2014-11-01 @ 15:56
здравствуйте, друзья-математики! :)
требуется мне решить задачу:
доказать, что сумма квадратов первых n натуральных чисел равна 
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
с базой индукции проблем никаких. всё выполняется, но есть проблемы при 
индукционном переходе, когда нужно доказать что условие выполнится и для 
числа (k+1).
записываю выражение \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} и прибавляю к нему (k+1)^{2} 
и как не крутила я дальнейшее выражение, так и не получила требуемого! :(
подскажите, бога ради, в чём же я ошибаюсь!
заранее спасибо!
-- 
С уважением,
Сандра!
sanka21m11@yandex.ru

Re: [blindmath.rus] метод матема

From:
Константин
Date:
2014-11-01 @ 20:18
и как не крутила я дальнейшее выражение, так и не получила требуемого! :(
подскажите, бога ради, в чём же я ошибаюсь!
заранее спасибо!
-- 
С уважением,
Сандра!
sanka21m11@yandex.ru
Ну, во-первых, мы не можем сказать в чём вы ошибаетесь, так как вы не 
привели своего решения, только что проделал тоже самое всё получилось. Всё
досканально писать лень, напишу схемотично. Что непонятно потом объясню. 
Итак, имеем
((k*(k +1)*(2k +1))/6 +(k +1)^2 
Должно быть равно (k +1)*(k +2)*(2k +3))/6.
Сразу для проверки(преподу не показывать) раскроем скобки в ожидаемом 
равенстве (2k^3 + 9k^2 + 13k + 6)/6
Теперь работаем с первой частью: раскрываем скобки и приводим к общему 
знаминателю:
(2*k^3 + 3k^2 +k + 6k^2 + 12*k + 6)/6 
Складываем подобные члены получаем:  (2*k^3 + 9*k^2 + 13k + 6)/6, что и 
требовалось доказать. 

Re: [blindmath.rus] метод матема

From:
Евгений Корнев
Date:
2014-11-02 @ 03:47
Приветствую.
> (k+1)^{2}
> и как не крутила я дальнейшее выражение, так и не получила
> требуемого! :(
> подскажите, бога ради, в чём же я ошибаюсь!
[ЕК] всё, что требуется это - формула разложения квадратного трёхчлена на 
линейные множители: a*k^2+b*k+c=a*(k-корень1)*(k-корень2), имеются в виду 
два корня квадратного уровнения трёхчлен=0. При n=k+1 имеем:

\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6},
что и есть значением доказываемой формулы при n=k+1. В нашем случае 
квадратный трёхчлен 2k^2+7k+6 имеет корни -2 и -3/2.
--
Евгений Корнев.

Re: [blindmath.rus] метод матема

From:
Сандра Байкальская
Date:
2014-11-02 @ 06:03
здравствуйте, господа и, конечно, дамы если таковые тут кроме меня 
имеются. :)
спасибо всем отозвавшимся!
я решила эту задачу и тем способом, о котором писала вчера и писал 
Константин то есть простым раскрытием скобок, приведением к общему 
знаменателю и приведением подобных в предполагаемом равенстве
k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
в итоге равенство выполнилось.
также я попробовала решить задачу с помощью подхода Евгения Корнева и 
отдельное спасибо Евгению за этот подход!
выражение, полученное  при сумме
k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
после раскрытия скобок, приведения к общему знаменателю, приведения 
подобных делится на (k+1) получаем
(k+1)(2k^{2}+7k+6)/6.
полученый в скобках квадратный трехчлен раскладываем на множители с 
помощью формулы разложения квадратного трехчлена a*(k-x_1)(k-x_2), где a 
- это первый коэффициент квадратного трехчлена, x_1 и x_2 - корни 
уравнения полученного приравниванием трехчлена к нулю.
получаем:
(k+1)2(k+2)(k+1.5)/6.
так как произведение независит от местоположения множителей, то запишим
(k+1)(k+2)2(k+1.5)/6
и внесем двойку под скобку
(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
вот и получили требуемое выражение! :)
мне способ Евгения нравится больше, но запишу эту задачу в свой отчет по 
практике я наверно в том виде, в каком изначально ее решала.
у меня задача подготовить материал по этой теме для первокурсников, а 
они, как я думаю, могут не увидеть что выражение делится на (k+1) и 
могут не уметь делить многочлены.
всем еще раз спасибо!

-- 
С уважением,
Сандра!
sanka21m11@yandex.ru